机器学习很多场景中会用到放回采样，比如bagging方法。采样后的数据集会有一些数据重复，一些数据缺失，从\(N​\)个样本中采样\(K​\)个样本，不同样本数量的期望为\(U(K)=N(1-\left(\frac{N-1}{N}\right)^K)​\)。怎么来的呢？这里给出简单的证明。

首先，显然有\(U(1)=1\)；其次，设从\(N\)个样本中采样\(k-1\)个样本，不同样本数量的期望为\(U(k-1)\)，则第\(k\)个样本是未曾抽到的样本的概率为\(1-\frac{U(k-1)}{N}\)，所以\(U(k)=1+\frac{N-1}{N}U(k-1)\)\(=1+\frac{N-1}{N}+\left(\frac{N-1}{N}\right)^2+\cdots+\left(\frac{N-1}{N}\right)^{k-1}\)，根据等比数列求和公式得\(U(K)=N(1-\left(\frac{N-1}{N}\right)^K)\)。

对于一种特殊情况，当\(K=N\)且\(N\)足够大时，则有最终不同样本数量是原始样本数量的期望为\((1-\frac{1}{e})\)，大约是\(\frac{2}{3}\)。

可以通过一段Python程序来验证结论的正确性：

import random, math

S = set()
N = 10000000
[S.add(random.randint(1,N)) for i in range(N)]
print(len(S), int(N*(1-1/math.e)))

我得到的输出结果为

(6321214, 6321205)

当然，你的运行结果可能和上面有所差别。